საიდუმლო გეომეტრია ხელოვნებაში • ფიბონაჩის მიმდევრობა

სანამ ვიტყოდეთ ფრაზას : ‘’ამ ქვეყნად უნაკლო არაფერია’’ სჯობს დავფიქრდეთ და გავიხსენოთ ფიბონაჩი, რომელმაც აღმოაჩინა მიმდევრობა. მას შემდგომ ოქროს პროპორცია, ღვთაებრივი და იდეალური რიცხვი უწოდეს (Golden ratio, divine proportion…)

მათემატიკის მარტივი კალკულაციებით არ არის ძნელი მიხვდე მიმდევრობას:

1+0 არის 1

1+1 არის 2

1+2 არის 3

2+3 არის 5

5+3 არის 8

და ასე შემდეგ.

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …

რეალურად ის, ვისაც ფიბონაჩის სახელით მოვიხსენიებთ, არის ლეონარდო პიზელი (მე–12 საუკუნის იტალიელი მათემატიკოსი). და ეს რიცხვები კი მის წიგნში ჩნდება, წიგნში რომელმაც ასწავლა მსოფლიოს მათემატიკა. ის, რასაც ახლა ვიყენებთ.

საინტერესოა, რომ ეს რიცხვები ბუნებაში თავის თავად გვხვდება ძალიან ხშირად. მაგალითად ყვავილის ფოთლების განლაგება, ზოლები მზესუმზირის ყვავილზე, ანანასის ქერქის გეომეტრიაც კი, ნაუტილუსის ნიჟარაც კი ფიბონაჩის მიმდევრობის გეომეტრიაა– მხოლოდ სამ განზომილებაში.

ყველაზე საინტერესო არის ის, თუ რამდენი რამ შეილება მოიმოქმედო ფიბონაჩის რიცხვებით:

დავუშვათ გინდათ რიცხვების აკვადრატება

1 1 2  3  5 8 13 21 34 55 …

1 1 4  9  25 …

რა თქმა უნდა, არაა გასაკვირი რომ  ფიბონაჩის მიმდევრობაში რიცხვების დამატებით სხვა ფიბონაჩის რიცხვები მიიღო, მაგრამ საინტერესოა მათი კვადრატების ჯამებით რას მივიღებთ.

1+1 არის 2

1+4 არის 5

4+9 არის 13

9+25 არის 34

და კი ეს მიმდევრობა გრძელდება. ვნახოთ რა მოხდება კვადრატების მიმდევრობის ჩამოწერით

1+1+4 არის 6

+9 არის 15

+25 არის 40

+64 არის 104

6

15

40

104

მართალია ესენი არ არიან ფიბონაჩის რიცხვები მაგრამ თუ დავაკვირდებით მათში არიან ისინი

6 არის 2*3

15 არის 3*5

40 არის 5*8

104 არის 8*13

სასიამოვნოა ასეთი რამის აღმოჩენა, მაგრამ უფრო სასიამოვნოა გაიგო რატომ არის ეს სიმართლე.

რატომ უნდა იყოს (1 1 2 3 5 8)-ს კვადრატები 8*13?

 

ავიღოთ კვადრატები

პირველი ფართობით 1*1-ზე, გვერდზე მიუდგათ მეორე 1*1-ზე კვადრატი, ესენი ქმნიან       1*2-ზე მართკუთხედს. ამათ ქვეშ დავდოთ 2*2-ზე კვადრატი, გვერდზე 3*3-ზე კვადრატი მიუდგათ. ქვემოთ 5*5-ზე და გვერდზე 8*8-ზე კვადრატები.

image1

დავსვათ არტივი კითხვა?! რა არის ამ მართკუთხედის ფართობი?

ნათელია რომ ერთი მხრივ მისი შემადგენელი კვადრატების ფართობების ჯამია, მეროე მხრივ კი 8*(5+8) რაც შემდეგი ფიბონაჩის რიცხვია ანუ 8*13

თუ გავაგრძელებთ ასე კვადრატების მიდებას კანონზომიერება არ შეიცვლება.

ახლა დააკვირდით

13/8 არის 1,625

21/13 არის 1,615

34/21 არის 1,619

55/34 არის 1,676

89/55 არის 1,61818

რაც უფრო დიდ რიცხვებს გავყობთ ერთმანეთზე ეს რიცხვი მიისწრაფის 1,618033… თან და ამ რიცხვს მოიხსენიებენ ოქროს რიცხვად და სასწაულებს მიაწერენ.

 

ამ რიცხვის უნიკალურობაში გვარწმუნებს ის, რომ იგი არამარტო ბუნებაში არსებულ საგანთა უმრავლესობის პროპორციულ კოეფიციენტს წარმოადგენს, არამედ ძალიან ხშირად შევხვდებით ყოველდღიურ ცხოვრებაში. იგი ბადებს ჰარმონიის შეგრძნებას, რომელსაც ყოველი ჩვენგანი აღიქვამს, თუმცა ვერ ხვდება მის არსს.

განვიხილოთ, თუ სად შეიძლება გადავაწყდეთ ოქროს პროპორციას.
დავიწყოთ დედაბუნებით:

tumblr_nu4ldkQa1r1rbvbw8o1_1280

ალბათ, არავის დაუთვლია თუ რამდენია სპირალურად დახვეული ნიჟარის გარე სპირალის დიამეტრის შეფარდება მომდევნოსთან. ის 1.618– ს უდრის.

tumblr_nlhj925aCP1qajmbto1_500

ერთ–ერთი საუკეთესო მაგალითია მზესუმზირას ყვავილი. მისი თესლები ერთმანეთის მოპირდაპირე სპირალებშია განლაგებული, რომელთა დიამეტრის შეფარდებაც სწორედ რომ 1.618–თანაა ძალიან ახლოს.

ეს მხოლოდ დასაწყისია, ოქროს პროპორციას გადავაწყდებით როგორც კოსმოსში,

ისე უმცირეს ობიექტებში:

გაგიკვირდებათ და ეფლის პროდუქციაშიც კი:

image8

საინტერესოა ის ფაქტი, რომ ფართო საზოგადოებამ არც ისე დიდი ხანია, რაც ამ პროპორციის  შესახებ გაიგო, თუმცა მის გამოვლინებებს ვხვდებით ადამიანის მიერ შექმნილ უძველეს ხელოვნების ნიმუშებშიც კი.

დავიწყოთ არქიტექტურით:

ყველასთვის ძალიან ცნობილია სტოუნჰენჯი, რომლის ამოუცნობი კონსტრუქცია დაახლოებით 3000 წელს ითვლის. როგორც ჩანს, პრეისტორიულმა ადამიანმაც კი იცოდა ღვთაებრივი პროპორციების შესახებ:

მსგავს შემთხვევებს ვხვდებით ძველ ეგვიპტეში.
გიზას პირამიდის კომპლექსშიც გამოყენებულია ოქროს პროპორცია.

აღსანიშნავია პართენონის აგებულებაც, რომელშიც ღვთაებრივი პროპორცია მოიძებნება მრავალ ადგილას. როგორც სიმაღლისა და სიგანის შეფარდებები გვაძლევენ იდეალურ რიცხსვს, ასევე ცალკეული მონაკვეთები:

შეუძლებელია არ ვახსენოთ თაჯ მაჰალი, რომელიც პროპორციას გამოხატავს როგორც ცენტრალური თაღის სიგანესა და სიგრძეში, ასევე ფანჯრების მოხაზულობაში და გუმბათის ქვევითა ნაწილშიც.image15

აუცილებლად უნდა ვახსენოთ პარიზის ღვთის მშობლის ტაძარი:

image16

ოქროს პროპორციის ყოველი გამოხატულება უნიკალური და მშვენიერია, რომელიც უმატებს ხელოვნების ნიმუშს ჰარმონიულობას, რომელსაც ბუნებაში ვხვდებით.

ამ პრინციპებს დღევანდელ არქიტექტურაშიც შევხვდებით.

ღვთაებრივი მიმდევრობის ნიშნებს გადავაწყდებით ქანდაკების ნიმუშებშიც. მათ შორის, პოსეიდონის, პრაქსიტელეს აფროდიტე კნიდოსელის, აპოლოსა და სხვა ცნობილ ქანდაკებებში.

 

შეუძლებელი არ ვახსენოთ ფიბონაჩის მიმდევრობის გავლენა მუსიკაში, მათ შორის ბახის ნაწარმოებებში, მოცარტის სონეტებსა და ბეთჰოვენის მეხუთე სიმფონიის ორგანიზების სტრუქტურებში. ისინი იყენებდნენ ოქროს პროპორციებს, თავისი გაუგებარი და უცნაური მოწოდების გამო. ის გამოიყენებოდა მელოდიური ხაზის განვითარებაში.

ღვთაებრივი პროპორცია გვხვდება მუსიკალურ ინსტრუმენტებში. პიანინოში ოქტავა შედგება 13 ნოტისგან. იგი შეიცავს 8 თეთრ, ხოლო 5 შავ კლავიშს, ისინი დაწყობილია 2–3 განლაგებით. ალბათ იცნობთ საწყის რიცხვებს ფიბონაჩის მიმდევრობიდან.

მისი გავლენა იგრძნობა სხვა მუსიკალურ ინსტრუმენტებში, მაგალითად ვიოლინოში.

უმთავრესი გამოხმაურება ოქროს პროპორციამ ჰპოვა მხატვრობაში. ერთ–ერთი თვალსაჩინო წარმომადგენელი ალბრეხტ დიურერი, რომელიც არაერთ თავის ნახატში ავლენს ამ ცოდნას.

შეუძლებელია არ ვახსენოთ სალვადორ დალი, რომელმაც თავის

image22

‘’sacrament of the last supper’’–შიც

მაგიდის ზევით გამოსახულია თორმეტკუთხედი, რომელშიც ყოველი ხუთკუთხედი თავის საკუთარ ოქროს პროპორციას ქმნის.

აღსანიშნავია უილიამ ბლეიკი, რომელმაც ნიუტონი გამოსახა ამ პროპორციის დახმარებით:

image23

image24ექსპერტებს თუ ვენდობით ჟორჟ სერა თავის ყველა ნახატში იყენებდა ღვთაებრივ პროპორციას:

ყველაზე ნათლად ამ ხერხს ვხედავთ რენესანსის გენიოსების ნამუშევრებში.

რაფაელი, განსაკუთრებით ღვთისმშობლის გამოსახვაში მიმართავდა ამ ხერხს:

ბოტიჩელი და მისი ცნობილი–‘’ ვენერას დაბადება’’:

image27

მიქელანჯელო–‘’სიქსტეს კაპელა’’:

თუმცაღა, არავის ისე არ ესმოდა ოქროს პროპორციის უნიკალურობა, როგორც ლეონარდო და ვინჩს. სწორედ მან აღმოაჩინა რომ ადამიანის სხეულის ნაწილების შეფარდებაც 1.618 ის ტოლია– მთელი სიმაღლის შეფარდება ჭიპიდან იატაკამდე მანძილთან.

image34

 

image33ოქროს პროპორციის  საუკეთესო ნიმუშია მისი ‘’ჯოკონდა’’

რომელშიც არამარტო ფიბონაჩის მიმდევრობითაა ამოუცნობი.  მასში ენით აღუწერელი  საიდუმლო გეომეტრიაა დაფარული.Mona Lisa საჭიროა ნახატის საათობით ცქერა, თუმცა ამის შემდეგაც შეიძლება ვერ დავინახოთ სრული გენია და ვინჩისა, რომელმაც თქვა: ‘’ხელოვნება არასდროსაა დამთავრებული, ის უბრალოდ მიტოვებულია’’ (‘’art is never finished, it’s only abandoned’’)

 

 

 

გამოყენებული ლიტერატურა:

http://en.wikipedia.org/wiki/Stonehenge

http://4sbccfaculty.sbcc.edu/lecture/2000s/lectures/Peter_Georgakis.html

https://davidfriddle.com/gm/Paint.2/

http://www.gogeometry.com/great_paintings/durer-albrecht-melencolia-female-temperament-golden-rectangle.html

 

 

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s